网孔分析法的工作原理和基本步骤

什么是网格分析

网状分析法（网状电流法、环路电流法）是电路分析的基本方法。该方法将无交叉导线的平面电路中各网格的电流设置为未知量，并基于基尔霍夫电压定律（KVL）建立联立方程组来求解电压和电流。它是与节点分析方法并列的一种具有代表性的电路分析方法，并且在求解具有多个电压源的电路时特别有效。如果这两种方法能够灵活运用，可以应对更广泛的电网。接下来，我们将详细介绍网格分析方法的原理和基本步骤以及如何将其扩展到包含多个电源和受控源的复杂电路。

网格分析概述

网格分析方法的前提是目标电路是平面电路。该方法将网格电流作为未知量分配给每个闭环（即网格），并根据电路元件、电源和KVL 建立联立方程组。由于示例电路大多是平面电路，因此该方法具有很强的适用性。

与基尔霍夫定律的关系

电路分析的基础是基尔霍夫电压定律（KVL）和基尔霍夫电流定律（KCL）。网格分析法主要利用KVL建立各回路的方程（回路电流方程）。对于每个独立的闭合路径（即网格），电路元件两端的电压降或电压升高由网格电流或网格电流的差异来表征。另外，上图是不带电源的电路，仅用于展示KVL写入方法。 i1=0，因为没有电源。在包括电源E的一般形式中，就会变成Ri1=E这样的形式。请注意，以下示例讨论的是包含电源的情况。例如，在双网状电路中，如果网状电流命名为I1和I2，则将KVL应用于每个环路，可以得到两个联立方程。

网格分析法的优点及适用范围

网格分析的优点是能够减少未知数的数量，特别是在包含多个电压源的平面电路中。这种通过识别闭环来设置网格电流的直观方法也是初学者阶段或早期设计阶段非常容易掌握的分析方法。

另一方面，对于三维布线等非平面电路，网格的定义将变得困难甚至不可能实现。在这种情况下，节点分析等其他方法更合适。

基本步骤和示例

在网格分析方法中，需要定义围绕闭环流动的网格电流，并将KVL应用于每个环路。以下步骤将使用仅包含电阻和电压源的简单案例来说明标准分析步骤。

Step1：分配网格电流

首先确认电路是平面电路，然后为每个基本网格（不包括其他环路的最小闭合路径）设置任意方向的网格电流。作为一般规则，如果所有网格都按顺时针方向排列，则符号管理会更容易。

Step2：对每个网格应用KVL

将KVL 应用于每个网格，并用网格电流表示每个元件的电压降或电压升。当网格之间共享组件时，组件的电压由网格电流的差异表示。

对于每个网格，KVL 沿着环路应用。注意电流如何流经每个电路元件，如果回路中有电压源，请注意其极性。当两个网格共用一个电路元件时，元件的压降需要用元件中流向相反方向的两个网格电流之差来表示。

例如，考虑具有网格电流I1 和I2 的双环电路。假设第一环路具有电阻器R1、R2和电压源E1，第二环路与第一环路共享电阻器R2，并且还包含电阻器R3。对每个循环写出KVL，我们可以得到以下方程组：

具体例子：双环电路

网格1：电阻R1=10，互阻R2=20，电压源E1=5V

网格2：互阻R2=20，电阻R3=30

将网格电流i1 和i2 定义为顺时针方向

将KVL 应用于网格1：

替换值：

将KVL 应用于网格2：

替换值：

Step3：确认未知变量的数量

如果有n个独立的网格，通常可以得到n个网格电流和n个KVL方程。如果存在受控源，则需要补充约束方程组，并确认未知数的数量与独立方程的数量一致。

第四步：求解联立方程组

解决实例

求解(1)(2)可得：

互阻R2的电流为i1i20.14A，压降约为2.73V。

对于小规模电路，代数消去法和代入法就足够了，但当网格数较多时，将它们整合成矩阵形式并使用线性代数方法（或电路模拟器）来解决问题会更有效。

基于矩阵形式的网格分析方法

当存在多个电压源或三个以上回路时，手动求解所有联立方程变得非常困难。在这种情况下，将方程组转换为矩阵形式并应用标准线性代数程序（或电路仿真和软件）可以使分析更加系统化。下面介绍网格分析方法中矩阵表达式的建立方法和求解步骤。

矩阵形式的创建

矩阵形式的一般形式如下：

轴=B

A：包含每个网格的等效电阻和公共分量的系数矩阵

x=(i1,i2,…,in)T：网格当前向量

B：电压源等常数项的向量

在双网格示例中，您可以按如下方式进行转换：

方程组：

矩阵形式：

一般矩阵表达式A、X、B：

求A的矩阵方程：

求A 的逆矩阵（22 更容易）：

计算X=A1B

结果与之前得到的解一致。

三个以上电路的网状分析方法

对于具有特定公共组件和电压源的三环电路，生成求解i1、i2 和i3 的矩阵方程组。由此，可以找到电路任何分支中的电流或电压降。

对于大规模或复杂的电路，使用电路模拟器（MATLAB、Python等）等软件比较容易。您可以根据具体情况选择更好的求解方法，例如矩阵展开法或消除法等系统方法来解决问题。

交流电路中的扩展应用

只需将电阻器R 替换为复数阻抗ZR=R，将电感器L 替换为ZL=jL，将电容器C 替换为ZC=1/jC，就可以使用相同的矩阵表达式来求解频率响应。

超级网格的概念

当电流源等电路元件位于两个网格的边界时，很难直接写出这些网格的KVL方程。在这种情况下，经常使用超网格分析。超级网格是通过将两个网格合并成一个大循环而形成的，该循环避开了电流源分支。当包含二极管、晶体管等非线性元件时，需要采用工作点线性化、每次更新环路矩阵直至收敛等方法（牛顿-拉夫森法）。

什么是超网

当电流源等元件放置在两个环路之间时，就会发生这种情况。由于施加在该电流源上的电压降可能是未知的（不是由简单的欧姆定律关系直接给出），因此暂时需要将两个网格视为不包含电流源分支的扩展环路，并在该大闭合路径周围应用KVL。同时，添加与已知电流源IS值相关的约束方程（示例中IS=i1i2）来求解未知电流。同样的想法可以进一步扩展到多个电流源或受控电流源。当为了便于说明而将其中一个网格电流以逆时针方向绘制时，表达式可能表现为i1+i2=IS，但如果统一i2的方向并重写，则表达式将完全等价于i1i2=IS。

超级网格应用示例

假设网格1和网格2之间存在电流源IS，并定义网格电流i1和i2。跳过电流源分支，创建一个结合了循环1 和循环2 的超级网格。为这个超级网格编写一个KVL 方程，并利用两个网格电流之差等于IS 的关系，这样就可以获得求解i1 和i2 所需的联立方程组。

在包含受控源的电路中的应用

网格分析不仅限于纯电阻电路或基于电压源的电路。这种方法也可以应用于包含独立电流源、受控电压源和受控电流源的电路，只要该电路保持平面结构或者可以使用超级网格的概念进行处理。

独立电流源

当独立电流源完全位于环路内部时，使用节点分析或其他方法来处理环路可能会更方便。当两个小区共享电源时，通常需要进行超网格分析，或者可以考虑节点分析是否可以减少未知数。最终的决定是基于未知的网格电流数量、环路方程的数量以及所需的独立方程的数量。

受控源

受控源有四种类型：压控电压源（VCVS）、电流控制电压源（CCVS）、压控电流源（VCCS）和电流控制电流源（CCCS）。无论如何，其输出取决于电路中其他位置测量的电压或电流。

VCVS和CCVS（受控电压源）：在环路方程中补充ix或vx

VCCS 和CCCS（受控电流源）：补充超级网格或控制变量方程

这些关系需要明确地引入联立方程组或矩阵形式。尽管此方法很有效，但请注意符号规则和控制变量。

与节点分析法的比较

网格电流分析和节点分析经常提出这样的问题：“什么情况下应该使用哪种方法？”。

节点分析法是根据基尔霍夫电流定律（KCL）设定未知节点电压，而网格分析法是根据基尔霍夫电压定律（KVL）设定未知回路电流。

对于相同复杂度的电路，求解网格电流方程通常比节点电压法需要更少的方程。特别是在电压源分布广泛且电路布局规则的平面电路中。

电源类型、分布及判断标准

基本定律KVLKCL 未知变量变小的典型情况包含多个电压源的平面电路包含多个电流源的电路，非平面电路难以应用的情况包含多个分布式电流源的非平面电路电压源串联更复杂的电路视角网格分析法节点分析法电压源较多且电路是平面的 应使用网格分析法

电流源广泛分布或非平面电路应使用节点分析方法

这些指导原则并不是绝对的。在网格分析方法和节点分析方法之间进行选择时，需要比较每种方法需要求解的未知数的数量、电压源和电流源的分布以及电路是否是平面电路，从而确定更好的方法。

总结

网格分析方法特别适用于导体不相互交叉的平面电路。在以电压源为主的电路中，它往往可以减少未知量的数量。使用矩阵形式，即使是大规模或复杂的电路也可以系统地求解。另一方面，对于包含多个电流源的电路或非平面电路，节点分析等其他方法更合适。通过掌握网格分析方法和节点分析方法，可以大大拓宽从基础理论学习到实际设计和仿真中电路分析的选择范围。